円を作成するときの3種の方法

円を作成する際に用いる方法は複数あります。どんな方法があるのでしょうか？

1. 最小二乗法

最小二乗法は与えられた点群に対して最適な円を求める手法です。

この方法では点と円との距離の二乗和を最小化することを目的とします。

• 手順:
  1. 円の中心（$h,k$）と半径（$r$）を仮定します。
  2. 各点（xi,yix_i, y_ixi​,yi​）から円までの距離を計算し、その距離の二乗を求めます。
  3. この二乗の和を最小にするように中心と半径を調整します。
• 利点: ノイズの影響を受けにくく、全体的なフィッティングに優れています。

2. 外接法

外接法は与えられた点群を囲む最小の円を求める方法です。

この方法ではすべての点が円の外側にあることを前提とします。

• 手順:
  1. 点のペアを選び、そのペアを通る円を考えます。
  2. 可能な円を全て計算し、最小の半径を持つ円を特定します。
  3. 最終的に、全ての点がこの円の外にあるように調整します。
• 利点: 簡単に実装でき、特に凸な形状のデータに対して効果的です。

3. 内接法

内接法は与えられた点群の中に最大限に内接する円を求める手法です。

この場合円は点のすべてが円の外側に位置しないようにします。

• 手順:
  1. 点群を囲む最小の多角形を作成します（通常は凸包）。
  2. 多角形の内部で最大の円を求めます。多角形の各辺に接するようにします。
  3. 接点を考慮して円を調整します。
• 利点: 点群にしっかりとフィットし、安定した結果が得られます。

まとめ

• 最小二乗法: 点群の全体を考慮し、最適な円をフィッティング。
• 外接法: 点群を囲む最小の円を求める。
• 内接法: 点群の内部に最大限に内接する円を求める。

データの特性や目的によって、それぞれの手法を使い分けることがとても重要です。